(P): \(y=\left(1+m\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m-3\)

\(=x^2+mx^2-2mx+2x+m-3\)

\(=m\left(x^2-2x+1\right)+x^2+2x-3\)

\(=m\left(x-1\right)^2+x^2+2x-3\)

Tọa độ điểm cố định mà (Pm) luôn đi qua là:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=0\\y=x^2+2x-3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y=x^2+2x-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1+2-3=0\end{matrix}\right.\)

Đề thiếu m ở 3 hoặc -2 rồi ạ. 

\(y=mx^3+2mx^2+\left(1-m\right)x+3-2m\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+2x^2-x-2\right)m+\left(x-y+3\right)=0\)

Gọi \(\left(x_0\text{;}y_0\right)\) là điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua. 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0^3+2x_0^2-x_0-2=0\left(a\right)\\x_0-y_0+3=0\end{matrix}\right.\)

PT (a) có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định. 

Giải pt ra 3 điểm đó là \(A\left(1\text{;}4\right),B\left(-1\text{;}2\right),C\left(-2\text{;}1\right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2\text{;}-2\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-3\text{;}-3\right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) => Vector AB và vector AC cùng hướng. 

Vậy 3 điểm A, B, C thẳng hàng. 

Sửa đề: \(y=\left(1+m\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m-3\)

\(=x^2+mx^2+\left(-2m+2\right)x+m-3\)

\(=x^2+mx^2-2mx+2x+m-3\)

\(=m\left(x^2-2x+1\right)+x^2+2x-3\)

\(=m\left(x-1\right)^2+x^2+2x-3\)

Tọa độ điểm mà (Pm) luôn đi qua là:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=0\\y=x^2+2x-3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y=x^2+2x-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1+2-3=0\end{matrix}\right.\)

Ta có \(y=\left(m+1\right)x+m\left(m+1\right)+\frac{m^3}{x-m}\) suy ra tiệm cận xiên của \(\left(C_m\right)\) là đường thẳng d có phương trình \(y=\left(m+1\right)x+m\left(m+1\right)\)

Giả sử d luôn tiếp xúc với Parabol (P) : \(y=ax^2+bx+c;\left(a\ne0\right)\) khi đó phương trình sau có nghiệm bội với mọi m :

   \(ax^2+bx+c=\left(m+1\right)x+m\left(m+1\right)\)

\(\Leftrightarrow ax^2+\left(b-m-1\right)x+c-m^2-m=0\)(*)

\(\Leftrightarrow\Delta=\left(m+1-b\right)^2-4a\left(c-m^2-m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1+4a\right)m^2+2\left[\left(1-b\right)+2a\right]m+\left(1-b\right)^2-4ac=0\) với mọi m

\(\Leftrightarrow\begin{cases}1+4a=0\\\left(1-b\right)+2a=0\\\left(1-b\right)^2-4ac=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=-\frac{1}{4}\\b=\frac{1}{2}\\c=-\frac{1}{4}\end{cases}\)

\(\Rightarrow\left(P\right):y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)

Vậy d luôn tiếp xúc với Parabol (P) \(y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)

Giả sử \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm mà d không đi qua, khi đó phương trình :

\(y_0=\left(m+1\right)x_0+m^2+m\Leftrightarrow m^2+\left(x_0+1\right)m+x_0-y_0=0\) vô nghiệm với mọi m

                                         \(\Leftrightarrow\Delta=\left(x_0+1\right)^2-4x_0+4y_0< 0\)

                                        \(\Leftrightarrow y_0< -\frac{1}{4}x_0^2+\frac{1}{2}x_0-\frac{1}{4}\)

Ta dễ dàng chứng minh được d luôn tiếp xúc với Parabol

\(\left(P\right):y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)

]

\(y=ax^2+\left(4a-2\right)x+3a\)

\(\Leftrightarrow ax^2+4ax-2x+3a-y=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(x^2+4x+3\right)-2x-y=0\)

Vì pt trên luôn đúng với mọi \(a\) nên ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+4x+3=0\\2x+y=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(x+3\right)=0\\y=-2x\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=6\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Giả sử đường thẳng trên đi qua 2 điểm cố định. Gọi tọa độ của 2 điểm đó lần lượt là \(A\left(x_1;y_1\right)\) và \(B\left(x_2;y_2\right)\)

Khi đó: \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1\\y_1=2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x_2=-3\\y_2=6\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy 2 điểm cố định thuộc đường thẳng đó có tọa độ là \(\left(-1;2\right)\) và \(\left(-3;6\right)\).